帕秋莉的研究并非完全正确,文中只是夸张化地描写了“知识的尽头”这样的图景。数学方面的细节还是不要太当真,体会一下气氛就好了。硬要揪细节的话,屏幕前的您肯定比帕秋莉懂数学和逻辑。如果您确实对组合法阵问题感兴趣,作者用自己薄弱的数学基础试着提供一种解释:

法阵图案是二维平面上的一些曲线,可以表达成许多单变量函数的组合。既然位于函数向量空间内,法阵就要符合该空间的向量加法(叠加规律)和标量乘法(尺寸改变规律)。考虑到法阵的形状函数是可积的,不妨假设其满足狄利克雷定理。在这个固定的面积区间对它们使用傅里叶展开可以得到一些三角级数,也就是法阵的裂解式。我们把正弦与余弦函数当成基底法阵,其数量明显是无限,而非帕秋莉所认为的四。

同理,用一些函数级数来定义墨水消耗(一维)、效果展开式(希尔伯特空间)和咏唱展开式(二维以上),这些函数级数也符合各自的向量加法和标量乘法。我们可以用许多无穷收敛级数来表示这些函数级数的参数。

反过来,对裂解式求和可以得到最终法阵图形、总墨水消耗、最终效果、最终咏唱。这些表达式包括定义一个法阵需要的全部信息。微扰理论可能相当于叠加一个以一阶微小量为参数的级数,确实可以进行计算。效果展开式比较麻烦,未来的效果种类可能没有上限,但用于组合现有法阵肯定是可行的。四大猜想基本上都是合理的。

如果使用数学技巧构建出一些偏门的展开式,或是法阵形状不符合狄利克雷定理,这些三角级数的参数就可能是条件收敛级数。根据黎曼级数定理,重排它的顺序可以求和得到任何数,符合帕秋莉对于万能法阵的理解。将同样的法阵裂解式改变顺序重排之后会得到新的法阵,但对于墨水消耗、效果展开式和咏唱展开式也要进行相似的处理。法阵图形与其展开式并非双向对等。

只存在于无穷级数阶段的万能法阵不能简单地与其收敛的结果画上等号,因此法阵的图形依然可以决定其效果。帕秋莉把基底法阵裂解式对于顺序的依赖和最终法阵图形与顺序无关的性质混淆了,它们完全是可以共同存在的。可惜作者的能力有限,还做不到把更严谨的悖谬写成有趣的架空世界,就先用帕秋莉数学不好搪塞过去吧。

希望大家都能成为优秀的魔法使!